一般要求

考生应按照本大纲的要求，了解或理解高等数学中函数与极限、一元函数的微分学、一元函数的积分学、多元函数的微分学、无穷级数的基本概念和理论。学习、掌握或掌握以上各部分的基本方法。要注意知识各部分的结构和知识的内在联系；应具备一定的抽象思维、逻辑推理、计算和想象力介于空之间的能力；能运用基本概念、基本理论、基本性质、基本方法进行推理计算；能够综合运用所学知识分析和解决简单的实际问题。本大纲要求由低到高，概念和理论分为“理解”和“认识”两个层次；方法和操作分为“知道”、“掌握”、“掌握”三个层次。

一、函数、极限和连续性

(a)职能

1.知识范围

(1)函数的概念:函数的定义、函数的表示、分段函数；

(2)函数的简单性质:单调性、宇称性、有界性、周期性；

(3)反函数:反函数的定义和形象；

(4)函数的四次运算和复合运算；

(5)基本初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；

(6)初等函数。

2.要求

(1)理解函数的概念，求出函数的定义域、表达式、函数值、值域，求出分段函数的定义域、函数值，作出简单的分段函数图像；

(2)理解和掌握函数的单调性、宇称性、有界性和周期性，会判断给定函数的范畴；

(3)了解函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的关系(定义域、值域、镜像)，求单调函数的反函数；

(4)理解和掌握函数的四次运算和复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程；

(5)掌握基本初等函数的简单性质和图像；

(6)理解初等函数的概念。

(2)限制

1.知识范围

(1)数列极限的概念:数列和数列极限的定义；

(2)数列极限的性质:唯一性、有界性、符号保持、不等式保持、四个运算定理、pinching定理、单调有界定理、数列极限存在定理；

(3)函数极限的概念:函数在一点的极限定义了左右极限及其与极限的关系，以及当X趋于无穷时函数极限的几何意义(x→∞，x→+∞，X→-∞)；

(4)函数极限定理:唯一性定理、局部保号定理、pinching定理、单调有界定理、四个运算定理、复合函数极限定理；

(5)无穷小量和无穷小量:无穷小量和无穷小量的定义，无穷小量和无穷小量的关系，无穷小量和无穷小量的性质，两个无穷小量的比较；

(6)两个重要的极限。

2.要求

(1)理解极限的概念(极限定义中对“ε-N”、“ε-δ”和“ε-M”的描述没有要求)，根据极限的概念分析函数的变化趋势，找出函数在一点的左右极限，了解极限在一点存在的充要条件；

(2)了解极限的相关性质，掌握极限的四种算法和复合函数的极限规则；

(3)理解无穷小量和无穷小量的概念，掌握无穷小量的性质，理解无穷小量和无穷小量的关系，比较无穷小量的阶次(高阶、低阶、同阶、等价)，熟练运用等价无穷小量代换求极限；

(4)掌握用两个重要极限求极限的方法。

(3)连续性

1.知识范围

(1)函数连续性的概念:函数在一点连续的充要条件，函数的间断点及其分类；

(2)函数在一点上的连续性:连续函数的四次运算，复合函数的连续性，反函数的连续性；

(3)闭区间上连续函数的性质:有界性定理、最大最小值定理、中间值定理(包括零点定理)；

(4)初等函数的连续性。

2.要求

(1)了解函数在一点上的连续性和不连续性的概念，掌握简单函数(包括分段函数)在一点上的连续性，了解函数在一点上的连续性与极限存在的关系；

(2)会发现函数的不连续性，确定其类型；

(3)掌握闭区间上连续函数的性质，利用中值定理证明相关命题；

(4)为了理解初等函数的连续性，我们将利用函数的连续性来求极限。

二、一元函数微分学

(a)导数和微分

1.知识范围

(1)导数的概念:导数、左导数、右导数的定义，导数的几何意义，可导与连续的关系；

(2)求导法则及求导的基本公式，求导的四种运算，反函数求导及求导的基本公式；

(3)求导方法:复合函数求导法、对数求导法、参数方程确定的函数求导法、分段函数求导法；

(4)高阶导数的概念:高阶导数的定义和计算；

(5)微分:微分的定义，微分与导数的关系，微分规律，一阶微分形式的不变性。

2.要求

(1)理解导数的概念及其几何意义，理解可导性与连续性的关系，通过定义找到函数在某一点的导数；

(2)将求曲线上某一点的切线方程和法向方程；

(3)掌握导数的基本公式，四大算术规则，复合函数的求导方法，你会发现反函数的求导；

(4)掌握对数求导法和参数方程确定的函数求导法，会求出分段函数的导数；

(5)理解高阶导数的概念会发现简单函数的N阶导数；

(6)了解函数的微分概念，掌握微分规律，了解可微性与可微性的关系，求函数的一阶微分。

(2)中值定理和导数的应用

1.知识范围

(1)中值定理:罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

(2)洛必达定律；

(3)判断函数单调性的方法；

(4)函数极值与极值点、最大值与最小值；

(5)曲线和拐点的凹与凹。

2.要求

(1)理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及其几何意义，用罗尔中值定理证明方程根的存在性，用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明简单不等式或方程；

(2)掌握L 'Bida定律，你会发现“0/0”、“∞/∞”、“0∨”、“∞-∞”、“1∨”、“0∨”和“00”的待定形式的极限；

(3)掌握用导数判断函数单调性的方法，求出函数单调递增递减区间，利用函数单调性证明简单不等式；

(4)理解函数极值的概念，掌握求函数极值和最大值的方法，会解决简单的应用问题；

(5)会判断曲线的凹凸性质，找到曲线拐点的坐标。

3.一元函数的积分学

(a)不定积分

1.知识范围

(1)不定积分的概念:原函数和不定积分的定义，原函数的存在定理和不定积分的性质；

(2)基本积分公式；

(3)转换积分法的靠前种代换法(微分法)和第二种代换法；

(4)部分集成。

2.要求

(1)理解原函数与不定积分的概念和关系，掌握不定积分的性质，理解原函数的存在定理；

(2)掌握不定积分的基本公式；

(3)掌握不定积分的靠前代换法和第二代换法；

(4)掌握不定积分的分部积分；

(5)可以得到简单有理函数的不定积分。

(2)定积分

1.知识范围

(1)定积分的概念:定积分的定义及其几何意义；

(2)定积分的性质；

(3)定积分的计算:变上限定积分、牛顿-莱布尼茨公式、转换积分法、分部积分；

(4)无限区间的广义积分。

2.要求

(1)理解定积分的概念和几何意义；

(2)掌握定积分的基本性质；

(3)理解变上限定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分的求导方法；

(4)掌握牛顿-莱布尼茨公式；

(5)掌握转换积分法和定积分的分部积分；

(6)理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。

第四，无穷级数

(一)系列号

1.知识范围

(1)数列:数列的概念，敛散性数列的基本性质，数列收敛的必要条件；

(2)正项级数敛散性判别:比较判别、比率判别、根值判别；

(3)一般项级数:交错级数、绝对收敛、条件收敛。

2.要求

(1)了解级数敛散性的概念，掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质；

(2)掌握正项级数的比较判别法、比值判别法、根判别法，用正项级数的判别法判断级数的敛散性；

(3)掌握几何级数、调和级数、P级数的敛散性；

(4)为了理解级数的绝对收敛和条件收敛的概念，我们将使用扎布尼茨判别法来判断级数的敛散性。

(2)幂级数

(1)幂级数概念:收敛半径、收敛区间、收敛域；

(2)幂级数的基本性质；

(3)将简单初等函数展开成幂级数。

2.要求

(1)理解幂级数的概念；

(2)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和、差、逐项导数、逐项乘积)；

(3)掌握求幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域的方法；

(4)利用ex，sinx，cosx，ln(1+x)，l/(1-x)的麦克劳克林级数，将一些简单的初等函数展开为x或x-x0的幂级数。

试卷总分:150分

考试时间:150分钟

试卷内容比例

函数、极限、连续性约30%，一元函数的微分学约30%，一元函数的积分学约30%，无穷级数约10%。

试题比例

选择题15%左右，空题25%左右，计算题40%左右，综合题20%左右。

试题难度比

容易题40%左右，中等难度题50%左右，难题10%左右。

主要参考书

《高等数学》第七版靠前卷、第二卷，同济大学主编，高等教育出版社。

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