高等数学考试大纲

第1章:功能和限制

1.1映射和功能

1.2系列的限制

1.3功能限制

1.4无穷小和无穷

1.5极限算法

1.6极限存在准则

1.7无穷小比较

1.8功能的连续性和不连续性

1.9连续函数的运算和初等函数的连续性

1.10闭区间上连续函数的性质

基本要求:理解函数的概念；理解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；理解复合函数、反函数、隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质和图形；简单实际问题中的函数关系将被建立；理解极限的概念；掌握极限的四种算法；理解两个极限存在准则(pinching准则和单调有界准则)。会用两个重要的极限来求极限；理解无穷小、无穷和无穷小比较阶的概念，用等价无穷小求极限；一点理解函数连续性的概念；理解间断的概念会区分间断的类型；了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(中值定理和最大最小值定理)。

第二章:导数和微分

2.1衍生产品的概念

2.2函数求导定律

2.3高阶导数

2.4由参数方程确定的函数的隐函数和导数相关变化率

2.5功能区分

基本要求:理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义和函数可导性与连续性的关系；有些物理量可以用导数来描述；掌握复合函数求导和求导法的四种算法。掌握基本初等函数和双曲函数的导数公式。了解微分的四种算法和一阶微分形式的不变性；理解高阶导数的概念；理解几个常用函数的n阶导数的一般表达式()；掌握初等函数的一阶和二阶导数；会求隐函数和参数公式确定的函数的一阶和二阶导数，会求反函数的导数。

第三章:微分中值定理及其导数的应用

3.1微分中值定理

3.2洛比达法

3.3泰勒公式

3.4函数的单调性和曲线的凹凸性

3.5函数的极值、最大值和最小值

基本要求:理解罗尔定理、拉格朗日定理；理解柯西定理和泰勒定理；理解函数极值的概念，掌握判断函数单调性和求导求函数极值的方法；会用导数来判断函数的凹凸；会寻求拐点；绘制函数(包括水平和垂直渐近线)。会解决最大值和最小值的简单应用问题；会用L'Hospital定律求不定式的极限。

第四章:不定积分

4.1不定积分的概念和性质

4.2转换集成方法

4.3部件集成

4.4有理函数的集成

基本要求:理解不定积分的概念和性质；掌握不定积分的基本公式，不定积分各部分代换积分的方法；会发现简单有理函数的积分。

第五章:定积分

5.1定积分的概念和性质

5.2微积分基本公式

5.3定积分部分代换积分法

5.4不当积分

基本要求:理解定积分的概念和性质；了解变上限定积分定义的函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼茨公式；掌握定点零件代换积分法；理解广义积分的概念。

第六章:定积分的应用

6.1定积分的单元法

6.2定积分在几何中的应用

基本要求:掌握一些几何量和常见物理量(如面积、体积、弧长等)的表示方法。)用定积分。

第七章空之间的解析几何和向量代数

7.1向量及其线性运算

7.2数量产品交叉产品混合产品

7.3曲面及其方程

7.4 空之间的曲线及其方程

7.5平面及其方程

7.6 空之间的直线及其方程

基本要求:了解空之间的直角坐标系。理解向量的概念及其表示；主向量运算(线性运算、数量积、叉积)。了解两个向量的垂直和平行情况；掌握单位向量、方向余弦和向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；掌握平面方程和直线方程及其解法，会利用平面与直线的关系解决相关问题；理解曲面及其方程的概念，理解常见二次曲面的方程和图形，理解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面和母线平行于坐标轴的圆柱方程；了解空之间曲线的参数方程和一般方程；理解曲面交点在坐标平面上的投影。

第八章:多元函数微分法及其应用

8.1多元函数的基本概念

8.2偏导数

8.3总差异

8.4多元复合函数的求导规则

8.5隐函数的导数公式

基本要求:理解多元函数的概念；理解二元函数的极限和连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念，理解二元函数偏导数的存在性、可导性和连续性的关系；了解方向导数和梯度的概念和计算方法；掌握了复合函数一阶偏导数的解法，就会找到复合函数的二阶偏导数；会求隐函数的偏导数(包括方程确定的隐函数)；知道了曲线的切平面和法平面，曲面的切平面和法线，就可以得到它们的方程。

第9章:多重积分

9.1二重积分的概念和性质

9.2二重积分的计算方法

基本要求:理解二重积分的概念，理解二重积分的性质；掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法。

第10章:曲线积分

10.1弧长曲线积分

10.2坐标曲线积分

10.3格林公式及其应用

基本要求:理解两种曲线积分的概念。了解两类曲线积分的性质及其相互关系；会计算两种曲线积分；掌握格林公式。平面曲线用于整合与路径无关的条件。

第十一章:无限系列

11.1常数项级数的概念和性质

11.2常数级数的收敛方法

11.3电源系列

11.4功能扩展为幂级数

基本要求:理解无穷级数的敛散性和和的概念。了解无穷级数的基本性质和收敛的必要条件；掌握几何级数和P-级数的收敛性；了解正项级数的比较和收敛方法；掌握正项级数的比值收敛法；理解交错级数的莱布尼茨定理；理解无穷级数绝对收敛和条件收敛的概念和关系；了解函数级数的收敛域和和函数的概念；掌握更简单幂级数收敛域的解法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；利用Maclaurin展开式将一些简单函数间接展开成幂级数。

第十二章:微分方程

12.1微分方程的基本概念

12.2可分离变量的微分方程

12.3齐次方程

12.4一阶线性微分方程

12.5全微分方程

12.6可约高阶微分方程

12.7高阶线性微分方程

12.8常具体齐次线性微分方程

12.9常具体非齐次线性微分方程

基本要求:了解微分方程、解、通解、初值条件、特解的概念；掌握可分离变量方程和一阶线性方程的解法；会解齐次方程和伯努利方程，理解变量代换解方程的思想，会解所有微分方程；以下方程将通过降阶方法求解:，；了解二阶线性微分方程解的结构；掌握二阶常齐次线性微分方程的解，了解高阶常齐次线性微分方程的解；将求二阶非齐次线性微分方程的解与多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及其和与乘积联系起来；会用微分方程来解决一些简单的几何物理问题。

参考教材:《高等数学》(上册、下册)，同济大学应用数学系主编，高等教育出版社(第五版)

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