高等数学考试大纲

一、课程名称:高等数学

二、适用专业:化工与工艺、机械设计与制造及自动化

三、考试方法:闭卷考试

四、考试时间:90分钟

动词 （verb的缩写）试卷结构:总分:100分，其中选择题20分，填空题20分，算题50分，证明题10分。

不及物动词参考书目:

1.同济大学数学系主编，《高等数学》(上册、下册)，高等教育出版社，第6版，2007年。

2.《高等数学》(靠前卷、第二卷)，李乐成等主编，华中科技大学出版社，2004年第2版。

七、考试的基本要求:

考生应该明白& ，高等数学,函数的基本概念与理论，极限与连续性，一元函数的微分学，一元函数的积分学，向量代数与空之间的解析几何，多元函数的微积分，无穷级数与常微分方程；学习、掌握或掌握以上各部分的基本方法。要注意知识各部分的结构和知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑思维能力、运算能力和介于空之间的想象能力；具备运用基本概念、基本理论和基本方法进行正确推理证明和准确计算的能力；能够综合运用所学知识分析和解决简单的实际问题。

八、考试范围

第1章功能和限制

(一)考核内容

映射与函数，数列极限，函数极限，无穷小与无穷远，极限算法，极限存在准则，两个重要极限，无穷小的比较，函数的连续性与不连续性，连续函数与初等函数运算的连续性，闭区间上连续函数的性质

(二)知识点评估

1.函数的概念和性质。

2.求函数的极限。

(3)评估要求

1.理解:间断的概念会区分间断的类型；初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(中值定理和最大最小值定理)。

2.理解:函数和复合函数的概念；函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；极限的概念；无穷小、无穷远、无穷小比较阶的概念；等价无穷小求极限；函数在一点上连续的概念。

3.硕士:基本初等函数的性质和图形；极限的四种算法；两个重要的极限公式。

第二章导数和微分

(一)考核内容

导数的概念，函数的导数法则，高阶导数，隐函数，参数方程确定的函数的导数，函数的微分。

(二)知识点评估

1，函数的导数。

2.功能分化。

(3)评估要求

1.理解:微分的四种算法和一阶微分形式的不变性；高阶导数的概念；几种常见函数的n阶导数的一般表达式。

2.理解:导数和微分的概念，导数的几何意义，函数的可导性和连续性的关系。

3.掌握:四导算法和复合函数求导法；基本初等函数的导数公式。如何求初等函数的一阶和二阶导数；由隐函数和参数表达式确定的函数的一阶和二阶导数。

第三章是微分中值定理及其导数的应用

(一)考核内容

微分中值定理，洛必达定律，泰勒公式，函数单调性和曲线凸凹性，函数极值和极小极大。

(二)知识点评估

1.罗尔定理和拉格朗日定理。

2.洛必达定律。

3.函数单调性与曲线凹凸性。

4.函数的极值、最大值和最小值

(3)评估要求:

1.理解:柯西定理、泰勒定理。

2.理解:罗尔定理和拉格朗日定理，函数极值的概念。

3.高手:判断函数单调性，用导数求函数极值的方法；利用导数判断函数的凹凸性；求拐点；会画出函数的图形(包括水平和垂直渐近线)；解决最大值和最小值的简单应用问题；和洛必达一起；医院)法则求不定式的极限。

第四章不定积分

(一)考核内容

不定积分的概念和性质，代换积分法，分部积分，有理函数积分。

(二)知识点评估

1、不定积分的基本公式。

2.不定积分的分部代换积分法。

3.求有理函数积分的简单方法。

(3)评估要求

1.理解:不定积分的概念和性质。

2.硕士:不定积分的基本公式，不定积分各部分代换积分的方法；会发现简单有理函数的积分。

第五章定积分

(一)考核内容

定积分的概念和性质，微积分的基本公式，定积分的部分代换和积分方法，广义积分。

(二)知识点评估

1、微积分的基本公式。

2.用不动点零件代替和积分的方法。

(3)评估要求

1.理解:定积分的概念和性质；变上限定积分定义的函数及其导数定理，广义积分的概念。

2.掌握牛顿-莱布尼茨公式；定积分部分代换积分法。

第六章定积分的应用

(一)考核内容

定积分的元素法，定积分在几何中的应用。

(二)知识点评估

1.用定积分求一些几何量(如面积、体积、弧长)。

(3)评估要求

1.理解:定积分的元素法。

2.掌握用定积分求一些几何量(如面积、体积、弧长)的方法。

第七章微分方程

(一)考核内容

微分方程基本概念，可分离变量微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程，可约高阶微分方程，高阶线性微分方程，常系数齐次线性微分方程，常系数非齐次线性微分方程。

(二)知识点评估

1.可分离变量的微分方程和齐次方程。

2.一阶线性微分方程，可以化简的高阶微分方程。

3.常系数齐次线性微分方程和常系数非齐次线性微分方程。

(3)评估要求

1.理解:微分方程的概念，解，通解，初始条件，特解，二阶线性微分方程解的结构。

2.硕士:可分离变量的方程和一阶线性方程的解；求解齐次方程；用降阶法求解下列方程:，；二阶常系数齐次线性微分方程的解:二阶常系数非齐次线性微分方程的解。

第八章空之间的解析几何和向量代数

(一)考核内容

向量及其线性运算、标量积、叉积、曲面及其方程、曲线及其方程在空之间、平面及其方程、直线及其方程在空之间。

(二)知识点评估

1、向量运算(线性运算，量的乘积，叉积)。

2.空之间的曲线及其方程。

3.平面方程和直线方程及其解法。

(3)评估要求

1.理解:两个向量垂直平行的条件，常用二次曲面方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面，母线平行于坐标轴的圆柱方程；空之间曲线的参数方程和一般方程；坐标平面上曲面交线的投影。

2.了解空之间的直角坐标系，矢量的概念和表示，曲面的概念及其方程。

3.主:向量运算(线性运算、量积、叉积)；单位向量、方向余弦、向量坐标表达式以及带坐标表达式的向量运算方法；平面方程和直线方程及其解法会利用平面和直线的关系来解决相关问题。

第九章多元函数微分法及其应用

(一)考核内容

多元函数的基本概念，偏导数，全微分，多元复合函数的求导法则，隐函数的求导公式。

(二)知识点评估

1，偏导数，全微分。

2.多元复合函数的求导规则。

3.隐函数的导数。

(3)评估要求

1.理解二元函数的极限和连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质；二元函数偏导数的存在性、可微性和连续性的关系。

2.理解:多元函数，偏导数，全微分的概念。

3.主:偏导数，复合函数的一阶和二阶偏导数；隐函数的偏导数(包括方程确定的)。

第十章多重积分

(一)考核内容

二重积分的概念和性质，二重积分的计算方法。

(二)知识点评估

1.二重积分的计算。

(3)评估要求

1.理解:二重积分的概念和性质。

2.掌握二重积分(直角坐标)的计算方法。

第十一章曲线积分

(一)考核内容

弧长曲线积分，坐标曲线积分，格林公式及其应用。

(二)知识点评估

1.两类曲线积分的计算。

2.绿色公式。

(3)评估要求

1.理解:两类曲线积分的概念、性质及关系。

2.硕士:两类曲线积分的计算；格林公式使用了平面曲线积分与路径无关的条件。

第十二章无限系列

(一)考核内容

常数项级数的概念和性质，常数项级数的收敛方法，幂级数，函数展开为幂级数。

(二)知识点评估

1、常数级数的收敛方法。

2.幂级数。

3.把函数展开成幂级数。

(3)评估要求

1.理解:无穷级数敛散和的概念，无穷级数的基本性质，收敛的必要条件；正项级数的比较与收敛方法，交错级数的莱布尼茨定理；无穷级数绝对收敛和条件收敛的概念及关系；函数级数的收敛域和和函数的概念，幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。

2.掌握几何级数和P-级数的收敛性；正项级数的比收敛法:简单幂级数收敛域的求解:利用Maclaurin展开式将一些简单函数间接展开成幂级数。

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