2014年荆楚理工学院数学分析考试大纲

《数学分析》专升本考试大纲：一、课程名称：数学分析二、适用专业: 数学与应用数学三、考试方法：闭卷考试四、考试时间：90分钟五、试卷结构：总分：100分，选择题15分，填空题15分，计算题40分，证明题30分。六、参考书目：1、华东师范大学数学系编著，《数学分析》（上、下册），高等教育出版社，2010年第4版。2、中国科学技术大学 常庚哲 史济怀编著，《数学分析教程》（上、下册），高等教育出版社，2003年第1版。七、考试的基本要求：数学分析是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容，考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能运用所学知识正确拙推理证明，准确、简捷地计算。能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。八、考试范围 第一章  实数集与函数（一）考核内容     实数及其性质,绝对值与不等式。区间与邻域，有界集与确界原理。函数概念,函数的表示法。函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。具有某些特性的函数：有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。（二）考核知识点1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式；2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理；3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。（三）考核要求1、了解实数域及性质； 2、掌握几种不等式及应用； 3、熟练掌握数域，上确界，下确界，确界原理； 4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。第二章  数列极限（一）考核内容  数列。数列极限的 定义,无穷小数列。收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。子列及子列定理。数列极限存在的条件：数列极限的单调有界定理、柯西收敛准则。（二）考核知识点1、极限概念；2、收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性，单调性；3、数列极限存在的条件：单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则。（三）考核要求1、熟练掌握数列极限“ ”定义；2、掌握收敛数列的若干性质； 3、掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。第三章 函数极限（一）考核内容求函数的极限，单侧极限。函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性和四则运算法则。函数极限存在的条件：归结原则、函数极限的单调有界定理和柯西准则。两个重要极限。无穷小量及其阶的比较,无穷大量，曲线的渐近线。（二）考核知识点1、函数极限的概念，单侧极限的概念；2、函数极限的性质：唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性；3、函数极限存在的条件：归结原则（Heine定理），柯西准则；4、两个重要极限；5、无穷小量与无穷大量，阶的比较。（三）考核要求1、熟练掌握使用“ ”，“  ”语言，熟练叙述各类型函数极限； 2、掌握函数极限的若干性质； 3、掌握函数极限存在的条件。（归结原则，柯西准则，左、右极限,单调有界等）； 4、熟练应用两个特殊极限； 5、牢固掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。  第四章  函数连续性（一）考核内容 函数在一点的连续性,左、右连续,间断点及其分类，区间上的连续函数。连续函数的局部性质：局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数的连续性，闭区间上连续函数的性质：最值定理、介值性定理、根的存在定理，反函数的连续性,一致连续与一致连续性定理。指数函数的连续性，初等函数连续性。（二）考核知识点1、函数连续的概念：一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类；2、连续函数的性质：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性；3、初等函数的连续性。（三）考核要求1、熟练掌握 在 点连续的定义,等价定义；2、掌握间断点及其类型； 3、了解在区间上连续的定义；4、掌握 在一点连续的性质及闭区间上连续函数的性质；5、了解初等函数的连续性。   第五章  导数与微分（一）考核内容     导数的定义，导函数，导数的几何意义，极值，费马定理。导数的四则运算法则，反函数的导数, 复合函数的导数，基本求导法则与公式。参变量函数的导数,隐函数的导数，初等函数的导数。高阶导数。微分概念，微分的几何意义，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，高阶微分，微分在近似计算中的应用。（二）考核知识点1、导数概念：导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义；2、求导法则：导数公式、导数的运算(四则运算)、求导法则（反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程的求导法则）；3、微分：微分的定义，微分的运算法则，微分的应用；4、高阶导数与高阶微分。（三）考核要求1、熟练掌握导数的定义及其几何意义；2、牢固记住求导法则、求导公式； 3、会求各类函数的导数（复合函数、含参变量函数、隐函数、幂指函数、高阶导数（莱布尼兹公式））； 4、掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算； 5、理解连续、可导、可微的关系。  第六章  微分中值定量、不定式极限（一）考核内容  罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，单调函数。柯西中值定理。不定式极限，罗比塔法则。带有皮亚诺型余项、拉格朗日型余项的泰勒公式，泰勒公式在近似计算上的应用（二）考核知识点1、中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；2、几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则；3、泰勒公式。（三）考核要求1、牢固掌握微分中值定理及应用（包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）；2、会用洛比达法则求极限（将其他类型的不定型转化为 等类型）。第七章  导数的应用（一）考核内容函数单调性与极值。最大值与最小值。函数的凸性与曲线的拐点。函数图象的讨论。方程的近似解。 极值的判别法；函数的升降、凸性讨论的有关理论及结果；画函数草图的基本要素和方法。（二）考核知识点1、函数的单调性与极值；2、函数凹凸性与拐点.（三）考核要求1、掌握单调与 导数符号的关系，并用它证明 单调，不等式、求单调区间、极值等； 2、利用 的二阶导数判定凹凸性及拐点; 3、了解凸函数及性质; 4、会求曲线各种类型的渐近线性.第八章 极限与连续（续）（一）考核内容  关于实数集完备性的基本定理：闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理与致密性定理，实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的证明。（二）考核知识点1、实数完备性六个等价定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理；2、闭区间上连续函数整体性质的证明：有界性定理的证明，最大小值性定理的证明，介值性定理的证明，一致连续性定理的证明；（三）考核要求1、掌握下列基本概念：区间套、覆盖、有限覆盖、聚点、予列；2、了解刻划实数完备性的六个定理的等价性，并掌握各定理的条件与结论； 3、学会用六个定理证明其他问题，如连续函数性质定理等.  第九章  不定积分（一）考核内容  原函数与不定积分概念,基本积分表,线性运算法则。换元积分法，分部积分法。有理函数的不定积分,三角函数有理式的不定积分,某些无理函数的不定积分。（二）考核知识点1、不定积分概念；2、换元积分法与分部积分法；3、几类可化为有理函数的积分；（三）考核要求 1、掌握原函数与不定积分的概念； 2、记住基本积分公式； 3、熟练掌握换元法、分部积分法； 4、了解有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分。  第十章  定积分（一）考核内容概念引入（曲边梯形面积与变力作功），定积分定义，定积分的几何意义。牛顿－莱布尼兹公式。可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类：闭区间上的连续函数、只有有限个间断点的有界函数、单调函数。定积分的基本性质，积分中值定理。变限积分与原函数的存在性，微积分学基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法。可积性理论补叙.（二）考核知识点1、定积分的概念：概念的引入、黎曼积分定义，函数可积的必要条件；2、可积性条件：可积的必要条件和充要条件，达布上和与达布下和，可积函数类(连续函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数)；3、微积分学基本定理：可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式；4、非正常积分：无穷积分收敛与发散的概念，审敛法（柯西准则，比较法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；瑕积分的收敛与发散的概念，收敛判别法。（三）考核要求1、掌握定积分定义、性质；2、了解可积条件，可积函数类； 3、深刻理解微积分基本定理，并会熟练应用； 4、熟练计算定积分； 5、掌握广义积分收敛定义及判别法，会计算广义积分。 第十一章  定积分应用（一）考核内容 微元法。平面图形的面积。由平行截面面积求体积，旋转体体积。平面曲线的弧长、曲率。旋转曲面的面积。定积分的近似计算.（二）考核知识点1、定积分的几何应用：平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的体积平面曲线的弧长与微分，曲率；（三）考核要求1、熟练计算各种平面图形面积； 2、会求旋转体或已知截面面积的体积； 3、会利用定积分求孤长、曲率、旋转体的侧面积.第十二章 数项级数（一）考核内容数项级数极其收敛与和的定义，柯西收敛准则，收敛级数的基本性质。正顶级数收敛性的一般判别原则（比较原则），比式判别法与根式判别法，积分判别法。拉贝判别法。交错级数，莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与性质，条件收敛，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。（二）考核知识点1、级数的敛散性：无穷级数收敛，发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质；2、正项级数：比较原理，达朗贝尔判别法，柯西判别法，积分判别法；3、一般项级数：交错级数与莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。（三）考核要求1、掌握数项级数敛散的定义、性质； 2、熟练掌握正项级数的敛、散判别法； 3、掌握条件、绝对收敛及莱布尼兹定理。 第十三章  函数列与函数项级数（一）考核内容函数列与函数项级数的收敛、一致收敛性以及一致收敛的柯西准则，函数项级数的维尔斯特拉斯优级数判别法（M判别法），阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。函数列极限 函数与函数项级数和函数的连续性、可积性与可微性。（二）考核知识点1、一致收敛性及一致收敛判别法（柯西准则，优级数判别法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；2、一致收敛的函数列与函数项级数的性质（连续性，可积性，可微性）。（三）考核要求1、掌握函数列及函数项级数的一致收敛定义； 2、掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法；; 3、函数列的极限函数，函数项级数的和函数的性质。第十四章 幂级数（一）考核内容阿贝尔第一定理, 幂级数的收敛半径与收敛区间,内闭一致收敛性，幂级数的性质，幂级数的四则运算。泰勒级数，函数可以展开成泰勒级数的条件,初等函数的幂级数展开式。复变量的指数函数和欧拉公式。（二）考核知识点1、幂级数：阿贝尔定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质；2、几种常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理。（三）考核要求1、熟练掌握幂级数收敛域、收敛半径及和函数的求法；; 2、了解幂级数的若干性质； 3、了解求一般任意阶可微函数的幂级数展开式的方法； 4、会利用间接法求一些初等函数的幂级数展开式。第十六章  多元函数极限与连续（一）考核内容平面点集概念，R2上的完备性定理,二元函数和n元函数概念。二重极限,累次极限。二元函数的连续性,复合函数的连续性。有界闭域上连续函数的性质。（二）考核知识点1、平面点集与多元函数的概念；2、二元函数的极限、累次极限；3、二元函数的连续性：二元函数的连续性概念、连续函数的局部性质及初等函数连续性。（三）考核要求1、了解平面点集的若干概念； 2、掌握二元函数二重极限定义、性质； 3、掌握二次极限，并掌握二重极限与二次极限的关系； 4、掌握二元连续函数定义、性质.  第十七章  多元函数微分学（一）考核内容多元函数的可微性与全微分，偏导数及其几何意义,全微分存在的必要条件、充分条件，可微性的几何意义及应用。复合函数的求导法则，复合函数的全微分。方向导数与梯度。高阶偏导数，二元函数的中值定理和秦勒公式，二元函数的极值与最值。（二）考核知识点1、可微性：偏导数的概念 ，偏导数的几何意义，偏导数与连续性；全微分概念；连续性与可微性，偏导数与可微性；2、多元复合函数微分法及求导公式；3、方向导数与梯度；4、泰勒定理与极值。（三）考核要求1、熟练掌握可微，偏导,可微的意义； 2、掌握二元函数可微，连续以及偏导函数连续等概念之间的关系； 3、会计算各种类型函数的偏导，函数的全微分； 4、会求空间曲面的切平面，法线； 5、会求函数的方向导数； 6、会求二元函数的无条件极值。  第十八章  隐函数定理及其应用（一）考核内容隐函数概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数（存在惟一性、可微性）定理，隐函数求导。隐函数组概念，函数行列式，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标变换。几何应用。条件极值与拉格朗日乘数法。（二）考核知识点1、隐函数：隐函数的概念，隐函数的定理，隐函数求导举例；2、隐函数组：隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式；3、几何应用：平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面和法线；条件极值：条件极值的概念，条件极值的必要条件。（三）考核要求1、掌握一个方程确定的隐函数的条件，隐函数性质，隐函数的导数（偏导）公式；2、会求空间曲线的切线与法平面；3、会求空间曲面的切平面与法线； 4、掌握条件极值的拉格朗日乘子法。 第二十章  重积分（一）考核内容平面图形的面积，二重积分的定义及其存在性，二重积分性质。直角坐标系下二重积分的计算(化为累计积分)。格林公式，平面曲线积分与路线无关的等价条件，原函数。二重积分的变量替换公式，用极坐标计算二重积分。三重积分的概念与性质，化三重积分为累次积分，三重积分的换元法，柱坐标变换与球坐标变换。重积分在的应用：曲面的面积。（二）考核知识点1、二重积分概念：二重积分的概念，可积条件，可积函数，二重积分的性质；2、二重积分的计算：化二重积分为累次积分，换元法（极坐标变换，一般变换）；3、含参变量的积分；4、三重积分计算：化三重积分为累次积分, 换元法（一般变换，柱面坐标变换，球坐标变换）；5、重积分应用：立体体积，曲面的面积，物体的重心，转动惯量；6、含参量非正常积分概念及其一致敛性：含参变量非正常积分及其一致收敛性概念，一致收敛的判别法(柯西准则，与函数项级数一致收敛性的关系，一致收敛的M判别法)，含参变量非正常积分的分析性质.（三）考核要求1、了解二重积分，三重积分的定义与性质；2、掌握二重积分的换序，变量代换； 3、了解三重积分的换序，会用球、柱、广义球坐标进行代换计算三重积分； 4、了解含参量正常积分的定义及性质. 第二十二章  曲线积分与曲面积分（一）考核内容第一型曲线积分的定义与计算。第二型曲线积分的定义和计算，两类曲线积分的联系。第一型曲面积分概念、性质和计算。曲面的侧,第二型面积分概念、性质和计算，两类曲面积分之间的联系。高斯公式,斯托克斯公式，空间曲线积分与路线无关的等价条件。场论初步。（二）考核知识点1、第一型曲线积分的概念、性质与计算，第一型曲面积分的的概念、性质与计算；2、第二型曲线积分的概念、性质与计算，变力作功，两类曲线积分的联系；3、格林公式，曲线积分与路线的无关性, 全函数；4、曲面的侧，第二型曲面积分概念及性质与计算，两类曲面积分的关系;5、高斯公式，斯托克斯公式，空间曲线积分与路径无关性；（三）考核要求1、熟练掌握第一、二型曲线、曲面积分的计算方法； 2、了解两种曲线积分，两种曲面积分关系；3、熟练运用格林公式，高斯公式，斯托克斯公式的计算； 4、掌握积分与路径无关的条件。

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